Правописът на това съчетание от предлог и съществително име не е изрично нормиран. Съветваме ви да го пишете разделно – до дъно .

Наздраве за рожденика – чашите до дъно ! Но после всичко се промени и изпих до дъно горчивата чаша на мизерията и унижението.