Правилно е да се пише чеша (се) . Глаголът е от I спрежение и формата му за 1 л. ед.ч., сегашно време завършва на -а .

Кучето клекна до мен и ме побутна, за да продължа да го чеша . Чеша се по врата и се напъвам да си припомня нещо.