Правилно е да се пише разделно – у дома .

У дома часовник трака с лъскави стрелчици. Щом си дошъл у дома , заповядай – няма да стоиш на прага.

Съчетанието е фиксирано в Нов правописен речник на българския език. С., БАН, Хейзъл, 2002, с. 284. В Официален правописен речник на българския език. С., БАН, Просвета, 2012 и в БЕРОН. Официален правописен речник онлайн то липсва.